Omul care s-a jucat cu infinitul

De Bogdan Mihăilescu

„Vedeți această ierarhie? Dumnezeu a lăsat-o acolo. Eu doar am descoperit-o.”— Georg Cantor (adaptat după o afirmație atribuită lui despre ordinea universului).

01. Nașterea unui geniu

În inima Germaniei, într-un orășel liniștit, s-a născut un băiat cu o minte sclipitoare. Georg Cantor, un copil precoce, mereu fascinat de numere, de forme și de misterele ascunse ale matematicii. Încă de mic, el punea întrebări care îi lăsau pe adulți fără răspunsuri, întrebări despre infinit, despre lucruri care nu se termină niciodată.

Într-o lume obsedată de finit, Georg Cantor a îndrăznit să privească dincolo de limite. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor s-a născut la 3 martie 1845 în Sankt Petersburg, într-o familie de muzicieni și negustori, într-o Europă care vedea matematica ca o disciplină ordonată, un edificiu de reguli imuabile. Dar mintea sa era altfel: un tărâm unde numerele nu se sfârșeau niciodată, unde infinitul nu era doar un concept vag, ci o realitate ce putea fi explorată, comparată, clasificată.

02. Infinitul dezlănțuit

La Universitatea din Berlin, sub îndrumarea lui Karl Weierstrass, a început să exploreze limitele analizei matematice. Dar inima lui bătea pentru ceva mai profund:teoria mulțimilorși natura infinitului.

Așa a început să lucreze la teoria mulțimilor, o nouă ramură a matematicii care avea să revoluționeze înțelegerea infinitului precum și întreaga matematică. Nimeni, nici chiar el, nu bănuia că aceste studii aveau să deschidă o cutie a Pandorei

03. Hotentoții și matematica.

Încă din copilărie Cantor a fost fascinat când a aflat despre niște triburi de hotentoți care aveau în vocabularul lor cuvinte precum unu, doi, trei și mai mulți / mai multe. Dar nu aveau cuvinte pentru cifra patru, cinci și nici mai departe. Ca atare acești oameni nu puteau număra mai mult de trei. Neavând nici bani ei practicau trocul, schimbul în natură. Dacă la târg un hotentot voia să schimbe o grămadă de prune pentru o grămadă de nuci se punea următoarea problemă. Oare nucile sunt mai multe sau prunele? Dar ei nu puteau număra prunele și nucile ca să decidă care sunt mai multe. Și atunci recurgeau la următorul procedeu. Aliniau pe tarabă câte o nucă și în dreptul ei o prună. Iar o nucă, iar o prună și tot așa. Dacă nucile se terminau și prune mai rămâneau era clar că prunele erau mai numeroase ca nucile. Sau invers, dacă prunele se terminau primele însemna că erau mai puține.

Iată deci cum hotentoții puteau compara între ele două mulțimi pe care nu le puteau număra efectiv și puteau decide totuși care mulțime era mai mare. Atunci Cantor s-a gândit că nici mulțimile infinite nu le putem număra dar totuși le-am putea compara prin acest procedeu.

Astfel Cantor s-a apucat să compare mulțimea numerelor naturale cu mulțimea numerelor pare, ambele neputând fi numărate deoarece erau infinite. Și a procedat la fel ca hotentoții: A pus de o parte numerele naturale și de cealaltă parte numerele pare. Deci unu versus doi, doi versus patru, trei versus șase, patru versus opt, cinci versus zece etc. Mergând până la infinit se vede că fiecărui număr natural îi corespunde un număr par. Inițial ne-am aștepta ca numerele pare să fie jumătate din numerele naturale dar cum ambele mulțimi sunt infinite jumătate de infinit este tot infinit. Dar oare toate infinitele sunt egale? Cantor a mers mai departe. S-a apucat să compare mulțimea numerelor naturale cu mulțimea numerelor reale. Ambele infinite. Deci a recurs din nou la metoda hotentoților pe care a numit-o într-un mod mai științific « argumentul diagonal ». (Ca o scurtă reamintire Numerele reale sunt toate numerele de pe axa numerelor, inclusiv numerele naturale, dar și fracții, zecimale și numere iraționale, cum ar fi π sau √2).

Și iată cum a făcut Cantor comparația între numerele naturale și cele reale precum între prune și nuci?

Și-a imaginat o listă cu toate numerele reale cuprinse între zero și unu. Toate aceste numere sunt de forma unui zero urmat după virgulă de zecimale uneori un număr infinit de zecimale.

Pe urmă și-a imaginat un nou număr real alegând o cifră diferită de prima cifră a primului număr din listă, o cifră diferită de a doua cifră a celui de-al doilea număr din listă și așa mai departe.

Acest nou număr fa fi diferit de oricare alt număr din listă, deci acest număr nu se află în listă. Acest lucru înseamnă că nu poți crea o listă care să conțină toate numerele reale. Prin urmare, numerele reale sunt un infinit mai mare decât numerele naturale. (mai multe nuci decât prune).

Iată deci că deși avem două mulțimi infinite, infinitul numerelor reale este mai mare decât infinitul numerelor naturale.

04. O lume nepregătită.

Dar ideile lui Georg Cantor erau prea radicale pentru vremea lui. Mulți matematicieni, obișnuiți cu conceptele tradiționale, nu erau pregătiți să accepte existența mai multor tipuri de infinituri. Ei considerau că Georg este un nebun, un visător periculos care amenință fundamentele matematicii.

Profesorii săi, inclusiv celebrul Leopold Kronecker, unul dintre cei mai mari critici ai lui Georg, i-au ridiculizat munca. „Dumnezeu a făcut numerele întregi. Restul este opera omului”, spunea Kronecker, negând ideea că infinitul poate fi înțeles. Leopold Kronecker, îl acuza de nebunie și de blasfemie, spunând că ideile lui sunt o insultă la adresa lui Dumnezeu. Mergând chiar mai departe ca Leopold, unii teologi creștini (în special neo-scolastici) au privit opera lui Cantor ca pe o provocare la adresa unicității infinitului absolut din natura lui Dumnezeu – echivalând la un moment dat teoria numerele transfinite cu panteismul – idee pe care Cantor a respins-o cu tărie.

Chiar marele matematician Henri Poincaré s-a referit la ideile lui ca la „o gravă boală” care infecta disciplina matematicii.

05. Umbrele nebuniei

Criticile continue, izolarea academică și lupta sa neobosită cu ideile care depășeau epoca l‑au afectat profund pe Georg împingându-l într-o spirală a suferinței. El a început să sufere de depresie și de anxietate, iar sănătatea lui mintală s-a deteriorat treptat. În cele din urmă, a fost internat într-un sanatoriu, unde a petrecut o mare parte din viața lui. Chiar și în momentele de nebunie, Georg continua să se gândească la infinit. El scria articole și lucrări, încercând să-și explice ideile și să-i convingă pe ceilalți de adevărul lor. Dar vocea lui era prea slabă, iar lumea nu era pregătită să-l asculte.

În cele din urmă viața oricărui om este finită, chiar și a celui care a îndrăznit să se joace cu infinitul. A murit pe 6 ianuarie 1918, în sanatoriul unde și-a petrecut ultimul an al vieții.

06. O moștenire infinită

Abia după moartea lui, ideile sale au început să fie acceptate și apreciate. Astăzi, teoria mulțimilor este una dintre cele mai importante ramuri ale matematicii, iar Georg Cantor este considerat un geniu revoluționar. Deși a fost respins în timpul vieții, Georg Cantor este acum recunoscut ca unul dintre cei mai revoluționari matematicieni. Teoria sa a mulțimilor a devenit fundația matematicii moderne, iar explorarea infinitului îi poartă amprenta. Contribuția sa adusă matematicii este mult mai vastă decât am prezentat în această lucrare. Teoria numerelor, serii trigonometrice și ordinali, Teoria mulțimilor, Corespondențele unu-la-unu, Ipoteza continuumului, Infinitul absolut, teorema bunei ordonări, și paradoxurile, sunt doar câteva dintre contribuțiile sale.

07. În loc de epitaf.

Georg Cantor a fost înmormântat în Cimitirul Stadtgottesacker din Halle, Germania. La căpătâiul său este o piatră funerară pe care în loc de epitaf este gravată o ecuație enigmatică:

„C = ℵ₁”

Aceasta este o aluzie la Ipoteza Continuumului, conjectura sa cea mai îndrăgită: Puterea continuului (mulțimea numerelor reale) este ℵ₁, următorul cardinal după ℵ₀. Această ecuație, aleasă chiar de către Georg, este o mărturie a pasiunii lui pentru infinit, a obsesiei lui de a-l înțelege și de a-l aduce în lumea matematicii.

08. Concluzie

Georg Cantor a arătat că infinitul nu este o noțiune statică, ci una dinamică, cu o structură bogată și nesfârșită. Astăzi, teoria cardinalilor transfiniți este esențială în logică, topologie și teoria modelelor.

A fost, într-adevăr, omul care s-a jucat cu infinitul – și, în cele din urmă, l-a învins.