数学之外的无限以及……数学中的无限

研究街工程师。章。卢克丽霞·尤妮亚·布雷泽努

“无限”一词是一个形容词，用于描述数量或大小没有限制的事物。它来自拉丁语infīnītus，源自fīnītus“限制”、“划定”，也有：“指定”、“确定”和“完成”；因此字面意思是“没有限制”，但也有“不确定”和“未定义”的意思。当它是一个名词时，无穷大从根本上表示一个数学概念，以及一个哲学、形而上学或神学概念，其悖论长期以来滋养着全世界的思想史。

无穷大的符号

在数学和数学之外，无穷大的符号是“∞”，由数学家约翰·沃利斯在 17 世纪发明，这个符号的起源存在争议，其形状可能会让人想起水平的“8”（但与选择的数字 8 无关）；这种形状与伯努利双纽带或莫比乌斯带的形状进行了比较。这些也是无限或难以达到的永动的可能表示，但准确地说是“极限”的表示，对于根据定义或本质上不可能表示的概念。

至少自古希腊以来，无限概念在西方哲学史上留下了深刻的烙印，试图将基督教神学对神性作为真实或“实际”无限的特征的反思与新柏拉图思想和亚里士多德主义调和起来，特别是与亚里士多德在“实际的、实际的和具体的无限，其在自然界中无法想象的无限、实际的和具体的存在”之间的概念区别，而只是作为一种抽象的概念和潜力。

这种反思的主要阶段可能是，自神秘的《哲学家之书二十四》以来，从四世纪到十五世纪，一些人的一些作品，如：马里乌斯·维克托里努斯、博伊提乌斯、约翰·大马士革、托马斯·阿奎那、雷蒙德·纳尔、约翰·邓斯·斯科特斯、妮可·奥雷斯梅，尤其是库萨的尼古拉斯，他对无限宇宙的愿景是由无限的有限世界组成，所有这些世界都在歌颂无处不在的上帝的荣耀（宗教裁判所冒着将造物主与他的创造物混淆的风险），这给 17 世纪初的佐丹奴·布鲁诺带来了惩罚。

自 17 世纪以来，无穷大的概念在西方思想以及数学和科学史上卷土重来，特别是通过费马、莱布尼茨和牛顿对无穷小微积分的发展，以及在笛卡尔、帕斯卡和斯宾诺莎的著作中。这些数学和物理学方面的创新导致了观点的根本改变。因此，亚历山大·柯瓦雷（Alexandre Koyré）指出，“用无限且同质的宇宙取代古代和中世纪思想的有限且有等级秩序的宇宙，意味着并需要对哲学和科学理性的首要原则进行改革”。

在古埃及宗教中，Nun 是创世之前存在的无边海洋之神的名字！

中国有墨子提出的无限理论，是战国时期中国出现的“百家”哲学之一，在-300年左右挑战了儒家和道家的教义。这一理论发表在该学派的创始文本中，该文本是其大师墨子的言论和思想的集合。

印度在《夜柔吠陀》（吠陀时期的印度数学：-1500 至 -4000）中记录了已知最早使用高达十万万亿（梵语为 parārdha）的数字。 还使用了数字无穷大的概念，pūrṇa，确定如果从 pūrṇa 中减去 pūrṇa，pūrṇa 仍然存在！

公元2世纪，学者平加拉（Pingala）在其著作《Chhandahshastra》中描述了一种二进制记谱系统，用于对音乐中的音节进行分类。他的系统使用术语“laghu”和“guru”来代表我们今天所知的“0”和“1”。这种描述比德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨 (Gottfried Leibniz) 于 1703 年开发的二进制系统早了约 1,500 年，该系统后来成为现代计算机发展的基础。

前苏格拉底哲学家实际上是最早的物理学家（phusikoi）。事实上，作为第一个敢于研究自然本身的人，他们建立了一种分析、研究和反思的方法，这种方法后来成为科学家和哲学家的方法。为此，今天仍在使用的许多科学语言都是由这些思想家引入的，最初具有表达自然研究发展所必需的概念的功能。

宇宙、kosmos、原则 (archè)、理性 (logos)、自然 (phusis) 是深入事物核心以发现其机制的术语。因此，神灵的传统功能，在此之前被视为外部干预，是“自然化的”，前苏格拉底主义者将直接或间接地使用无限/apeiron的概念。

前苏格拉底主义者不相信无限是徒然存在的，也不相信它除了原则之外还有任何其他价值——一切都是原则或来自原则，但无限并不是因为它是一个这一事实而来自原则。

无限是未生且不朽的：由于未生，无限没有终结，因此是不朽的。亚里士多德是第一个列出前苏格拉底哲学论点的人。关于无限，他在《物理学》第三卷中列举了前人思想的共同点以及导致他们相信无限存在的原因。不朽、不朽、无限似乎就是神性。导致相信无限的五个原因。首先，无穷大在于大小的划分。

数学家利用除法揭示的无穷大。例如，圆面积公式 π∙r2 通过将圆分成无数个三角形来得到证实。

有无限的来源。的确，毁灭和生成并没有穷尽，只能是因为万物生成的源头是无限的。

时间是无限的！每一代都有终结，但源头没有产生它的原则，因此没有终结。因此，生成和腐败的运动铭刻在时间中，并且归因于未生成和不腐败的源头，这意味着时间本身是无限的。

其本身没有限制。受限制的东西只会受到其他东西的限制，所以没有什么是限制，因为限制总是在两个术语之间。

一些前苏格拉底理论中的无限

Apeiron：无限的概念首次被引入哲学家阿那克西曼德（Anaximander，610米利都，546）的思想中，他是泰勒斯的学生，他想要研究宇宙的基础，因此最终将无限假设为存在事物的原则和基础：泰勒斯的水，阿那克西美尼的空气，赫拉克利特的火），因为它们是可变的，相互依赖，没有人可以享有特权。因此，除了元素之外，还需要另一种自然作为产生所有世界的基础。这个基础是无限的，是在永恒运动的影响下产生宇宙的原理。从这个意义上说，永动机是在不断地生产，它是一种“通用回报”。

毕达哥拉斯学派：在其学说中，该学派提出了永恒轮回：事物将再次相同。如果对于其他哲学家，例如阿那克西曼德或赫拉克利特，可以观察到一般回归，那么在某些毕达哥拉斯主义者中，则存在可以无限复制的个体回归。

事实上，如果存在 1) 有限数量的可能事件，2) 如果每个事件都有一个原因，3) 相同的原因必须总是产生类似的结果，那么在无限时间内事件必然会重复发生。

在《尼各马可伦理学》中，亚里士多德说，对于毕达哥拉斯学派来说，邪恶是无限的。赫拉克利特（6世纪下半叶-544年以弗所左右）认为，火是宇宙的原理：一切都可以转化为火，火又可以转化为一切。一方面，无限是通过生成而发现的，因为对他来说，一切都是通过冲突和必然性实现的，一切都指向它的对立面。无限是时间的特征，因为对于赫拉克利特来说，宇宙既没有开始也没有结束。

宇宙过去、现在、将来都像“永恒之火”。巴门尼德（6世纪末，埃利亚，5世纪中叶），其思想中固有的无限概念，是在对存在必须永恒的不动性和永恒性的解释中找到的，即它是不生的、不朽的。因此，无限对于永恒同一存在的存在是必要的。巴门尼德的学生梅利苏斯相信，存在的东西，或者更确切地说，存在的东西，一定是独一无二的：只有一件事。根据他的老师的话，他说存在的东西总是存在，但又补充说它的大小必须总是无限的。该论证以真空的不可能性为出发点。

德谟克利特：（-460 阿卜德拉，-370），自然由数量无限的小物质组成，这些物质存在于他称之为无限的地方。在无限永恒的虚空中游动的无限小物质有时会通过运动聚集并形成可见的物体。因此，无限是在将物体划分为无限的物质中发现的，这构成了第一个原子理论。

其他前苏格拉底思想家在他们的研究中也使用了无限的概念，二分法如果存在运动，则运动的物体必须在有限的时间内移动一定的距离；如果存在运动，则运动的物体必须在有限的时间内移动一定的距离；但在走完整个距离之前，身体必须先走完一半；在你走过一半之前，你必须已经走过那一半的一半。由于每个距离都可以无限地分成两半，并且不可能在有限的时间内遍历无限多个位置，因此运动不存在。

新柏拉图主义者普罗提诺（Plotinus）（-205-270）指出：“人们不必担心可理解的无限性”（Eneade，V.7.1）。普罗提诺断言“一”的无限性。虽然在无限之前，apeiron代表了最低程度的存在，甚至是纯粹的非存在，但对于普罗提诺来说，物质的本质在这种消极意义上仍然是无限的，它成为三个本质的积极属性：一，智能，普遍灵魂。

阿维森纳 (b. 980 Afshena, 布哈拉, 1037) 将包括亚里士多德的概念，但在神学背景下。因此，他采用了永恒世界的观念，但采用了神创论的形而上学。在无限的背景下，显然上帝的存在将为亚里士多德的形而上学赋予新的意义，亚里士多德的形而上学接受潜在的无限（以除法和加法的无限形式），但拒绝实际行为的无限。

月上世界中的无限：我们首先注意到，根据定义，上帝是无限的，并且是万物起源的第一原则，但上帝并不是唯一的无限存在；它是无限的。天上的智慧体（众神）对第一原则有一种本体论的依赖，这种依赖通过接近上帝完美的愿望而表达出来。作为运动原则的欲望是想要接近上帝、模仿他的事实。

如果阿维森纳谈到尘世的无限：行动中的无限是由神学带来的；行动中的无限是由神学带来的； （人的）灵魂是不朽的，因此在永恒的世界中灵魂是无限的。这就是艾维森主义中强大行动的无限性的特征。预备因有无穷无尽的连续性。这就是根本原因和次要原因之间的区别发挥作用的地方。基本（或真实）原因与运动、连续性相关，因为它们与效果保持一致。真正的原因“防止事物不存在”。辅助原因是次要的，因为它们先于工作。我们可以用代代相传的父子关系来解释这个事实。

至于强势无穷大，总是与亚里士多德的势无穷大相同，即除法无穷大和加法无穷大；弱功率中的无穷大，是在运动中发现的。这种运动与天球的运动并不对应，也不是真正连续的，可以用不同的方式来看待。我们已经可以将其视为身体的一般运动。然而，在无穷大的情况下，运动的这一定义将不再重要。

亚里士多德在《物理学》第六卷中明确指出，“如果线确实是连续统，点是不可分的连续统，那么连续统不可能由不可分割的组成，例如线不可能由点组成”。

从数学上的无限到神学上的无限：根据亚里士多德在《物理学》第三卷中的定义，“无限就是当一个人从中取出一个量时，也就是说，无论取出的量有多大，总有一些东西可以取出来。”

绝对无限：神学基础！ 《Mitteilungen》中所阐述的内容，即使它更直接地与思辨神学相关，仍然可以作为超限理论的基础。

//超限//数字对于人类来说是可以理解的，但是它们的集合，即所有“Ω”数字的系统，是不可理解的。

罗素·伯特兰 (Russell Bertrand) (1916) 对他而言，无穷大成为了一个问题

罗素对数的定义与《算术基础》中提出的数定义一致：“与给定类相似的所有类的类”。这个数字的定义使罗素能够提供皮亚诺算术五个公理中四个的逻辑证明。

在数理逻辑中，算术集是一组自然数，可以通过由第一个序数组成的公式（皮亚诺算术）来定义。算术集按算术层次结构进行分类。

正如莱布尼茨所说，无穷小是指空间或时间非常小，以至于不存在更小的空间或时间，因此不可能将其分为两个有限量。罗素拒绝在数学中操纵无限小量的可能性，即“任何有限距离都大于此”的量。

21 世纪的数学中的无穷大：对于绝大多数 21 世纪的数学家来说，无穷大的每种含义都是一个数学概念，就像任何其他概念一样，它拥有明确的定义，原则上可以简化为所使用语言的原始对象（最常见的是策梅洛-弗兰克尔集合论）。因此，例如，如果一个集合可以与其严格子集之一双射，那么它就是无限的（在理查德·戴德金的意义上）；空间无穷远点是通过遵循精确规则等添加到该空间的形式对象。

杜布瓦-雷蒙德 (du Bois-Reymond)、哈代 (Hardy) 和朗道 (Landau) 尝试诠释无穷小和各种“无穷大的阶”的含义（例如，能够表达无穷大的平方远大于无穷大）。它们包括引入参考函数（比较尺度），并说，例如，如果一个量相当于尺度的函数之一（在相同条件下本身非常小），则该量在某些条件下变化为某种量级的无穷小。但这些定义虽然在实践中有用，但存在一定的随意性，而且也必然是不完整的（总是有函数超出给定范围）。

几何级数 12n 填充一个边长和面积都等于 1 的正方形，直到最小

Von Koch 雪花是通过在前一个图形的每条边上添加一个三角形来构造的……无穷无尽；到无穷小

非标准分析和超现实数 20 世纪上半叶数理逻辑的进步导致各种理论家（特别是休伊特、罗宾逊和纳尔逊）考虑重建基于模型论的严格的无穷小理论。在这种方法中，我们建立了一个“非标准”实数模型，其中包含所有常见的实数，但也包含新数，不一定“无限大”或“无限接近”旧数；该理论的结果保证这些新的实数具有旧实数的所有属性（明显的悖论，例如最小的非标准整数的悖论，导致在19世纪放弃这些概念，但由于无法用所使用的精确语言表达某些属性而得到解决）。

几何和拓扑：无穷远点的概念是随着射影几何的发展而出现的（本身是随着几何透视的发明而发展的），旨在模拟众所周知的短语“平行线在无穷远处相交”，现在通过射影几何的构造而形式化。

物理学：20世纪初，物理学发现自己无法解释各种现象，包括处于热力学平衡的黑体应该辐射无限通量的事实，请参阅紫外线灾难。普朗克引入量子解决了这个问题，量子构成了量子物理学的基础。在物理学的几个分支中，例如量子场论或统计物理学，研究人员已经能够使用数学重整化技术消除理论中不需要的分歧。这些技术尚未应用于重力理论！

本册数量为38册！在玄学科学中

38在宗教中常常代表三位一体，与创造、生育、信任、创造力、自我表达、乐观、欢乐、勇气、物质丰富和现实联系在一起；这是个好消息！

38 是前三个质数的平方和（2、3、5 和 4+9+25 = 38）

37 和 38 是第一对不能被任何数字（3、7、8）整除的连续正整数。

数字38在命理学中的含义：象征着自信、创造力、自我表达、乐观、欢乐、勇气、物质丰富和现实。数字38象征着进步——在财富、事业、精神和生活方面。

从精神上来说，数字 38 是一个标志，表明你与神圣领域的联系，让许多经济回报和丰富在时间里流动！积极的行动、祈祷和肯定将有助于维持这种联系。

这个数字警告你在超自然的工作和职业生活中迈出一大步，或者在你的精神方面取得突破。

数字 38 作为双生火焰数字告诉你要坚持你选择的道路，很快你就会遇到你的双生火焰！

如果你还没有建立这种联系，这表明你很快就会在未来的日子里实现精神上的突破。双生火焰可以是家庭成员、朋友或导师。专注于你的使命。

精神意义：要理解数字 38，我们必须将其分解为几个数字，从中获得振动本质：3、8 和 11。数字 3 与自信、自主和乐观联系在一起，是巨大财富的象征。

数字3与野心的实现产生共鸣；它还与自然、成长和发展、清晰和雄辩有关。

数字8是无限、无限循环和丰富的象征！它可以象征权威、自信、力量和内在智慧、社会地位、自我和对和平的渴望。 // 8 // 象征物质财富、繁荣、成功、独立、洞察力、诚实、精确、平衡和忠诚。这个数字通常与财务祝福和成功联系在一起。

当这些数字加在一起时，它们等于主数字11高频数字，它包含创造力、灵感和灵性的能量。这个主要问题强调理解神秘和玄学。

数字38是3和8这两个数字属性的混合。根据数字命理学，数字38象征着鼓励你的信息，表明“某种”财富将会实现，因为目标将在未来实现！

38象征着保持正轨、采取积极行动、实现物质丰富、倾听内心的智慧。

这个数字让人想起业力法则——给予和接受的法则，这意味着如果你拥有很多，你就可以分享很多，这是一个迹象，表明它与神圣领域的联系允许许多经济回报和丰富流入实体的时间。

锶的原子序数为 38，是一种非常活泼的软金属元素，当它与空气接触时呈银白色和黄色，与水的反应性更强，与水反应形成氢氧化锶和氢气！锶存在于自然界的天青石和菱锶矿中。虽然天然锶很稳定，但其合成同位素 90Sr 具有放射性，存在于放射性废物中，半衰期为 29 年。锶储存在液态碳氢化合物（例如煤油或矿物油）下以防止氧化。粉末状的细金属锶非常适合 吡罗福里克，室温下在空气中自燃。锶盐使火焰呈现鲜红色，这就是它们用于烟火和照明弹生产的原因。

天文学：梅西耶天体 M38，一个位于御夫座的 7 级疏散星团；新总表 NGC 38 的主题，双鱼座的螺旋星系

石原测试是由 38 个伪等色板组成的色觉测试。大多数人会看到数字 38，但患有红绿色盲的人可能会看到数字 88。

北纬38度线是朝鲜战争时朝鲜和韩国的边界； 38 型蒸汽机车是新南威尔士州使用的最著名的蒸汽机车；美式轮盘上有 38 个老虎机！

“38”通常是 0.38 口径短管左轮手枪的名称。

猫的基因组中共有 38 条染色体。

参考书目

1. 神秘与理性、直觉、悖论、严谨之间的数学无限，作者：Thérèse Gilbert、Nicolas Rouche，ELLIPSES，15.07。 2001年

2. 无限的（非常！）简短的历史 23.02。 2022 年 Pierre Henriquet（核物理博士、Polytechnique Insights 专栏作家）

3.《INFINIT最新消息， 杂志//科学//， 特别编号125，2024年11月-12月

4.“无限先知佐丹奴布鲁诺，被天主教会活活烧死，德尔贝克 2020

5. Gaffiot 词典，“infīnītus”、“fīnĭo、fīnis”，章节作者，Félix Gaffiot，1934 年

（2022 年 2 月 4 日访问），

6. Maria Reményi，“无限的历史”，杂志//科学//，第 1 期。 278, 2000,

7. 形而上冥想，Emmanuel Levinas，《普遍百科全书》：“无限，哲学”，简介（2022 年 2 月访问）

RECOMANDARE：无限的艺术：我们失落的数字语言，罗伯特·卡普兰，艾伦·卡普兰，2003 年，企鹅图书