有無窮大嗎？

丹·D·法卡斯

座右銘：「只有兩件事是無限的：宇宙和人類的愚蠢；但我不確定宇宙」（阿爾伯特愛因斯坦）

我想我是在第一次對現實的偉大奧秘提出疑問的時候發現了無窮大的概念的，當時我讀了一本談論宇宙浩瀚的天文學書。我想這是一本較舊的書，因為在它的書頁中，空間和時間都沒有任何開始，沒有結束，也沒有任何邊界。當然，這幅圖畫也加入了一些在學校學到的數學和唯物主義知識。

當我還不到15歲的時候，我就將得出的結論寫在筆記本上，記錄了幾天前在散步時向一位同齡同事就這個主題所做的闡述。我還有筆記本，所以我可以在下面原封不動地重現一些有啟發性的片段，並穿插一些小解釋，這樣文本至少在某種程度上是可以理解的。

「無窮大，乘以無窮大乘以平方，仍然是無窮大，由此可見，無窮大除以無窮大乘數本身就得出無窮大。有四個維度……向前與向後一樣多，向右與向左一樣多，向上與向下一樣多，過去的時間等於未來的時間。一切都等於無窮大。」

「如果我們承認大腦中的每個分子（在特定時刻）佔據一個既定的位置，那麼我們就有非常大但有限的可能性以不同的方式放置它們，並且每種組合都是特定心靈的特徵」[從而定義一個特定的人或意識]......

「有無數的星星，無數的世界、建築、生命、思想的變體……無窮大除以無窮大等於無窮大。因此，每種可能性都存在無限次。同樣的事情已經被說過並且將會被說過無數次。並且存在與我們相同的世界」......

「由於[大腦中分子組合]的心靈可能性是有限的，在無限的[空間和時間]中，每種[組合，因此心靈]都將存在無限次。據說我們已經活了無數次，而且還會活很多次。不僅如此。我們已經過著與現在一樣的生活，而且我們還將過著無限次。所以我們不必抱怨死亡……」

換句話說，我想說的是，我們現在生活在這裡的現實也存在於宇宙的另一個角落，甚至無數次。而這些相同的複製品在過去以同樣的方式存在，在未來也將存在，無窮無盡……當然，當前現實的各種或多或少不同的變體也將是無限的，全部淹沒在與我們的世界無關的眾多變體中。

今天我明白，我因此獨立地遇見了一個古老的無限悖論。但這遠非唯一一個。

那時我還太年輕，對書本上的東西或偉人的話太有自信了。我們承認無限確實存在，一旦被談論，我們就可以在無限的世界中發揮我們的想像力，即使這個遊戲會產生各種各樣的怪異。稍後，我對從他人那裡獲得的知識產生了不信任，並需要用自己的頭腦進行檢查和重新思考。直到那時我才問自己無限是否真的存在，因為沒有人經歷過它，即使透過間接的後果，但無法拒絕。

事實上，即使是一個頭腦敏銳的普通人，如果被問到有沒有“無限”，他也會回答說，他只能為自己經歷過的事情把手火燒了。您可能已經看過數十億光年外星系的韋伯或哈伯圖像；顯然還有一些東西超出了他們的範圍。但他只看到了這一點，沒有看到無限。簡而言之，根據我們的常識，無限並不真正存在，因為沒有人見過或觸摸過它。

同時，我也了解到宇宙看起來與我十幾歲時想像的完全不同。隨著時間的推移，它（似乎）有一個開始，在著名的“大爆炸”中，也許它會有一個結束。至於空間，這裡的事情有點複雜。我試著用一個類比。我們所說的「無限」通常是指這樣一種情況：無論我們走多遠，無論一個點有多遠，我們都能夠超越，繼續到達更遠的地平線。地球表面（稍微簡化一下，我們可以認為是二維的）顯然是有限的（510,072,000 km²）但是，無論我們怎樣走，無論最終走到哪裡，我們仍然能夠走得更遠。古人仍然相信有可能以某種方式到達「世界的盡頭」；今天我們知道這樣的事情是不可能的。所以，從某種意義上來說，地球表面是無邊無際、沒有盡頭的（這麼「無限」？）。

讓我們為這張圖片添加另一個維度。正如二維、自封閉的地球表面（球體表面）「沉浸」在我們常見的三維現實中一樣，我建議想像我們在我們周圍觀察到的三維宇宙可以類似地成為超球面的表面，「沉浸」在具有四個空間維度的現實中。在這種情況下，如果我們有一艘神奇的船，可以在幾秒鐘內行駛數百萬光年，我們會發現無論我們朝一個方向走多遠，我們仍然可以繼續前進。最終（就像在地球上一樣）我們可能會驚訝地發現，繼續前進，泰然自若，我們記得我們已經回到了離開的地方。我們也不會到達宇宙邊緣的任何地方。

換句話說，就像來自太空的觀察者可以從遠處觀察地球表面以及人們在地球上的運動一樣，四維觀察者可以「從外部」觀察我們的宇宙。據觀察：地球表面是球形的，儘管理論上它可以有其他形狀；以此類推，從外部觀察，我們的宇宙不一定具有超球面的形狀，而可能具有另一種幾何（超）體的表面形狀。什麼樣的身體？這就是宇宙學家仍然吹噓的地方。也許是一個（超級）tor，也許是更複雜的東西。

看來，這是目前最受學者接受的觀點。也就是說，一個大小有限、封閉的宇宙（因此不可能逃離它），但沒有邊界。當然，這並不是我們想像的文章開頭所說的「無限」。

我們也可以透過談論多重宇宙來使情況更加複雜化，多元宇宙又是某些超多元宇宙的一部分（等等到無限大？），或者談論越來越大（無限？）的空間維度，也許還有時間維度。但這樣的討論超出了本文的範圍。

上大學後，我當然了解到，對數學家來說，無窮大確實存在，是一個非常真實的概念，沒有它，現代數學中的任何東西都不可能存在。古人仍然害怕具體的無限。今天我們常說兩條平行線在無窮遠處相交。歐幾裡得則謹慎得多。對他著名的相似假設的重新表述只是說，無論我們如何擴展它們，它們都永遠不會相遇。

在使用了三個多世紀的無窮小微積分中，最初只是說數字「趨於無窮大」或「盡可能小」。但目前從負無窮大到正無窮大的積分已經被使用，沒有尷尬，就好像這些值存在於現實中一樣。甚至還有一個小小的數學怪物，一個函數在負無窮大和正無窮大之間的整個區間內的值都為零，除了一個點，它的值為無窮大。而他在整個領域的積分是有限的。

後來我還遇到了巴納赫空間或希爾伯特空間，這些空間從一開始就不再羞於在某些情況下假設它們具有無限維數。因此，與許多其他相關工具一樣，所有這些工具都盡可能具體地使用無限的各種姿勢，同時在當今的科學和技術中具有巨大的實用性。

一個半世紀前，將無限作為一個真實的、幾乎有形的物體引入數學的人是， 格奧爾格·康托爾，透過創造「超限」集合論。在這個世界上，已經嚴格證明，即使是整數（或質數等）也與所有整數一樣多。因此，一個部分，無論多麼特殊，總是完全等於整體。我在本文開頭轉載的青少年思想中所喚起的奇異的無窮大運算，其根源在於這些矛盾的發現。

康託也證明了所有可以想像的分數（a/b，有理數）與自然數（1、2、3…）一樣多，無論乍看多麼奇怪。多少？無限多，但不僅僅是任何無限，而是稱為“可數”並表示為 一個₀ （阿萊夫零）。然後也說明，一條線（或線段，或所有實數等）上的點數加起來大於「可數」無窮大，可以表示為 一個₁ （我選一個）。且數學函數的數量是無窮大且更大，因此表示為 一個₂ （阿萊夫二）。此後（儘管沒有找到進一步的例子），這只是一個步驟，說明沒有什麼可以阻止我們談論無窮大的層次結構： 一個_n 對於任何（無限？）大的n。

康托爾的想法極大地激怒了他那個時代的數學家，他們希望腳踏實地。騷擾接踵而至，這使得這位過於敏感的老師越來越頻繁地被送進精神病院，並最終死在那裡。但他的遺產將征服數學。

除此之外，它的批評者指出，接受真實無窮大的存在會導致許多悖論。在這方面，人們回顧說，早在大約兩個半世紀前， 澤農·埃拉圖爾 例如，他闡述了一個著名的悖論，即腳步敏捷的阿喀琉斯無法透過奔跑趕上烏龜。為什麼？因為當阿基里斯到達點 T0（烏龜最初所在的位置）時，它已不再在那裡，而是到達了稍遠一點的新位置 T1。當阿基里斯到達 T1 時，爬行動物已經移動到 T2 點。這個過程可以無限重複，得到相同的結果，所以顯然阿基里斯沒有機會。常識告訴我們，當然，這樣的事情在現實中不會發生。長期以來，這個悖論讓學者們感到困惑。芝諾的技巧在於他將有限的情況歸結為無限（真實）數量的步驟。而這個無限數是永遠無法完成的。今天的數學家有應對這種情況的工具。例如，他們會意識到，我們正面臨一系列平庸的發展，最終匯聚到相遇的那一刻。

在這裡，我談到另一種教導，它在數學系和哲學系中有所揭示，但在其他地方卻沒有。我了解到，關於實無窮大是否存在的爭論，就像邏輯中的其他矛盾（也存在於有限的世界中）一樣，揭示了數學家的基礎比他們想像的要脆弱得多。接下來發生的事情對一個普通人來說是難以想像的。碰巧的是，大約在 20 世紀初，邏輯學家和數學家分成了不同的流派，各自提倡彼此有爭議的方法和真理。

其中一所學校的代表 - 其中包括邏輯學家 戈特洛布·弗雷格、伯特蘭·羅素、阿爾弗雷德·N·懷特海 等等，他們希望一種沒有悖論、足夠自身的普遍邏輯仍然是可能的，並且數學可以完全透過這種邏輯的工具來建構。直覺主義者，透過 L.E.J.布勞威爾、阿倫德·海廷、儒勒·亨利·龐加萊 等人發現，解決方法在於禁止使用某些概念和原則，從而試圖消除超出直覺所能控制範圍的推理。形式主義者，透過 大衛·希爾伯特、約翰·馮·諾伊曼 等等，培養了這樣的信念：透過足夠嚴格的形式理論，仍然可以獲得沒有矛盾的構造。這些學校都沒有能夠將他們的計畫進行到底，他們之間的爭端至今仍在發酵。

我記得在大學畢業前我上的最後一堂課上，一位教授給了我們這樣的臨別建議：“你們現在知道數學基礎是多麼有爭議；你們知道數學家曾經分裂成不同的流派，在一些基本原理上無法達成一致。如果你成為一名高中老師，請堅持下去，不要告訴學生任何這些。他們的精神仍然太困擾；對他們來說，數學必須保持一致。”

從那時起已經過去很多年了。六十多年來，我使用數學和計算機來解決各種各樣的實際問題，並取得了或多或少的成功。這種做法教會了我尊重一些基本智慧，這些智慧人人都可以掌握，但常常被忽略。我想提到其中兩個。

第一個想法是現實比我們想像的複雜得多。要知道，人類有三種高效率的工具，但沒有一種是完美的：文字、邏輯和數學。在他們的幫助下，我們建立的現實模型（例如理論）永遠不會完全足夠（悖論的證明等），但足以解決我們面臨的問題。許多人將這些模型與現實混淆，認為模型中有效的東西在現實中也同樣成立。這是一個可能導致嚴重錯誤的結論的錯誤。

第二個想法源自於第一個想法。我們常聽到「事實證明X在現實中一定存在」或「Y不可能存在」。最好不要忘記，任何演示都只能在模型中進行，模型是功能上不完美的現實副本。證明的結論在模型中是正確的，但實際上它們可能是正確的，也可能不是。該模型是一本非常有用的指南，但並非萬無一失。

尤其是數學的無限性有它的魅力，但它只是模式的一部分。超過一定程度，它的使用可以成為一個連貫且引人入勝的遊戲，但毫無意義且與現實無關。因此，儘管無窮大在數學中幾乎是一個陳腔濫調，但這一事實並不意味著現實有任何確定性。在現實世界中，無限只能是「趨向」或「超越某物，無論多遠」等等；就像真實的東西一樣。

最後，我想提醒讀者的第三個基本智慧是，我們絕不能忘記現實中也存在一些問題，這些問題我們不僅目前沒有答案，而且要到數百年後，而不是更早的時候，解決方案才會變得清晰（也許甚至存在完全超出智人思維能力的問題）。所以，讓我們保持謙虛和耐心。實無窮的存在可能就是這樣一個問題。