玩弄無限的人

博格丹·米海列斯庫

“看到這個等級制度了嗎？上帝把它留在那裡。我剛剛發現它。”— 康托（Georg Cantor）（改編自他關於宇宙秩序的陳述）。

01. 天才的誕生

在德國的中心地帶，一個安靜的小鎮，一個有著聰明才智的男孩誕生了。喬治康托 (Georg Cantor) 是個早熟的孩子，總是對數字、形狀和數學中隱藏的奧秘著迷。從很小的時候起，他就提出一些讓成年人無法回答的問題，關於無限的問題，關於永無止境的事情的問題。

在一個沉迷於有限的世界裡，喬治康托敢於超越極限。格奧爾格·費迪南德·路德維希·菲利普·康托 (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor) 於 1845 年 3 月 3 日出生於聖彼得堡的一個音樂家和商人家庭，在歐洲，數學被視為一門有序的學科，一座由不可改變的規則組成的大廈。但他的想法不同：在一個數字永無止境的領域，無限不只是一個模糊的概念，而是一個可以探索、比較、分類的現實。

02. 釋放無限

在柏林大學，在卡爾‧維爾斯特拉斯的指導下，他開始探索數學分析的極限。但他的心卻在為更深層的東西而跳動：集合論和無限的本質。

因此，他開始研究集合論，這是數學的新分支，它將徹底改變對無限大以及整個數學的理解。沒有人，甚至他，懷疑這些研究會打開潘朵拉魔盒

03. 霍屯督人和數學。

康托爾從小就對霍屯督人的一些部落很著迷，這些部落的詞彙中有「一」、「二」、「三」和「更多」等字眼。但他們沒有任何字詞來形容四、五或更多的數字。這樣一來，這些人數都數不過三。由於沒有錢，他們進行以物易物、實物交換。如果在市集上，霍屯督人想用一串李子換一串核桃，就會出現以下問題。還有更多的堅果還是李子？但他們無法數李子和核桃來決定哪個更多。然後他們採取了以下程序。他們在攤位上排列著一顆核桃，旁邊排列著一顆李子。還有核桃、李子等等。如果核桃用完了，還剩下李子，那麼很明顯，李子的數量比核桃多。反之亦然，如果李子先用完，就代表李子的數量變少了。

這就是霍屯督人如何比較兩個他們實際上無法計算的群體，並仍然決定哪個更大。然後康托爾認為我們甚至無法計算無限集，但我們仍然可以透過這個過程來比較它們。

於是，康托爾開始將自然數集與偶數集進行比較，這兩個數都無法計算，因為它們都是無限的。他和霍屯督人一樣：他把自然數放在一邊，偶數放在另一邊。因此，一對二，二對四，三對六，四對八，五對十，等等。直到無窮大，可以看出每個自然數都對應於一個偶數。最初，我們期望這些數字看起來是自然數的一半，但由於兩個集合都是無限的，所以無限大的一半仍然是無限的。但所有無窮大都相等嗎？康托走得更遠。他開始將自然數集與實數集進行比較。皆無限。於是他再次求助於霍屯督人的方法，他用更科學的方式稱之為「對角論證」。 （快速提醒一下，實數是數軸上的所有數字，包括自然數，也包括分數、小數和無理數，例如 π 或 √2）。

這就是康托爾如何將自然數與實數進行比較，就像李子與核桃之間的比較一樣？

他想像了一個包含 0 到 1 之間所有實數的清單。所有這些數字都是零的形式，小數點後有時是無限個小數。

然後，他透過選擇與清單中第一個數字的第一個數字不同的數字，與清單中第二個數字的第二個數字不同的數字，依此類推，想像出一個新的實數。

該新號碼與清單中的任何其他號碼不同，因此該號碼不在清單中。這意味著您無法建立包含所有實數的清單。因此，實數比自然數無限大。 （堅果多於李子）。

因此，雖然我們有兩個無限集，但實數的無窮大大於自然數的無窮大。

04. 一個毫無準備的世界。

但格奧爾格·康托爾的想法對於他的時代來說過於激進。許多習慣於傳統概念的數學家不准備接受幾種類型的無窮大的存在。他們認為格奧爾格是個瘋子，一個威脅數學基礎的危險夢想家。

他的老師，包括格奧爾格最偉大的批評家之一、著名的利奧波德·克羅內克（Leopold Kronecker），都嘲笑他的作品。 「上帝創造了所有的數字。其餘的都是人類的工作，」克羅內克說道，他否認可以理解無窮大的觀點。利奧波德·克羅內克 (Leopold Kronecker) 指責他瘋狂和褻瀆，稱他的想法是對上帝的侮辱。比利奧波德更進一步的是，一些基督教神學家（尤其是新經院哲學家）認為康托爾的工作是對上帝本質中絕對無限的獨特性的挑戰——一度將超限數論與泛神論等同起來——康托爾強烈反對這一觀點。

甚至偉大的數學家亨利·龐加萊也將他的思想稱為感染數學學科的「嚴重疾病」。

05. 瘋狂的陰影

不斷的批評、學術上的孤立以及他與超前思想的不懈鬥爭給了格奧爾格沉重的打擊，將他推入了痛苦的漩渦。他開始患有憂鬱症和焦慮症，心理健康狀況逐漸惡化。他最後被送進療養院，在那裡度過了大半輩子。即使在瘋狂的時刻，格奧爾格也一直在思考無限。他撰寫文章和論文，試圖解釋他的想法並說服其他人相信他們的真理。但他的聲音太弱了，世界還沒準備好傾聽他的聲音。

歸根究底，每個人的生命都是有限的，即使是那些敢於玩弄無限的人。 1918 年 1 月 6 日，他在療養院去世，並在那裡度過了生命的最後一年。

06. 無限的遺產

直到他去世後，他的思想才開始被接受和欣賞。今天，集合論是數學最重要的分支之一，喬治·康托爾被認為是革命性的天才。儘管喬治·康託在生前曾遭到拒絕，但他現在被認為是最具革命性的數學家之一。他的集合論成為現代數學的基礎，他對無窮大的探索也帶有他的印記。他對數學的貢獻比我在本文中介紹的要廣泛得多。數論、三角級數和序數級數、集合論、一對一對應、連續統假說、絕對無限大、良序定理和悖論只是他貢獻的一部分。

07.代替墓誌銘。

格奧爾格·康托 (Georg Cantor) 被埋葬在德國哈雷的 Stadtgottesacker 公墓。它的頭部是一塊墓碑，上面刻著一個神秘的方程式，而不是墓誌銘：

“C = ℵ₁”

這暗指了他最珍視的猜想－連續統猜想：連續統（實數集）的冪是 ℵ₁，是繼 ℵ₀ 之後的下一個基數。這個方程式由格奧爾格自己選擇，證明了他對無窮的熱情，他對理解無窮並將其帶入數學世界的痴迷。

0八、結論

康托（Georg Cantor）表明，無窮無盡大不是一個靜態概念，而是一個具有豐富和無盡結構的動態概念。今天，超限基數理論是邏輯、拓樸和模型理論的核心。

事實上，他就是那個玩弄無限的人，並且最終戰勝了它。