人類的無限

薩莎·勞塔

人類的無限

自古以來，從希臘人和羅馬人時代起，無窮的思想及其概念就引起了人們的興趣。他們試圖從哲學、數學、神學甚至藝術的不同角度以這種或那種方式來定義它。

為了更清楚地理解這個主題，我將從歷史的角度，按時代，將本文分成幾個部分，從第一次提到無窮開始一直延續到現在。

古代：

最早提到無窮大可以在西元前 450 年找到 《芝諾悖論》由來自義大利南部的同名希臘哲學家提出，他是埃利亞哲學學派的成員，該學派由巴門尼德創立，也是他的弟子。這些悖論包含三個論證來支持他的弟子的想法。 不幸的是，沒有實體歷史文獻，只有其他希臘哲學家的一些參考資料，因為他的懺悔只是口頭傳播的。但即使有一件物品是悖論收藏的一部分，考慮到它的年代跨越了數千年，它也很難恢復。

因此，從隨後幾個世紀其他希臘哲學家流傳下來的故事中，芝諾最重要的三個論點脫穎而出。

第一個悖論：他試圖證明從一點穿越到另一點是不可能的，因為從一點到另一點的路中間的距離可以減半到無窮無盡大，因此路沒有盡頭，是無窮無盡的。許多哲學家認為這種推理是錯誤的。他將這一論點闡述如下：“為了走完這一公里的距離，人首先走半公里（即總距離的一半），然後是剩餘距離的一半，然後是剩餘距離的一半，以此類推，這樣他永遠不會到達終點，因為這種劃分可以無限地存在。”

第二個悖論： 《阿喀琉斯與烏龜》 ——在這個弔詭中，希臘哲學家試圖證明跑得快的人永遠不會超過跑得慢的人。這個理論也得到了亞里斯多德的支持 《物理學》 兩個世紀後。假設著名運動員阿喀琉斯和一個速度較慢的對手之間有一場比賽，後者根據傳說變成了烏龜。假設阿基里斯的速度是烏龜的兩倍，而烏龜比阿基里斯（從起點出發）領先1公里。您很可能會得出這樣的結論：2 公里後，阿基里斯將到達烏龜身邊。利用前面提出的悖論，芝諾告訴我們另一件事：當阿基里斯達到1公里時，烏龜已經達到1公里半，當阿基里斯達到1公里半時，青蛙達到1公里又四分之三，以此類推，因此阿基里斯永遠無法超越烏龜。

第三個悖論： 《箭悖論》 告訴我們 「在 A 點和 B 點之間運動的箭頭在任何時候都不會在 A 點，因為它已經離開那裡，也不會在 B 點，因為它還沒有到達那裡。如果將距離 AB 減少到箭頭的長度，則箭頭實際上處於靜止狀態。” 由於結論顯然是錯誤的，因此這是一個邏輯悖論。

兩個世紀後，亞里斯多德試圖從數學和哲學的角度來解決這些理論以及無限問題，得出的結論是無限分為兩個部分：潛在無限和實際無限。哲學家這樣說： “沒有距離實際上是無限的，只是任何這樣的距離都可能是無限的” （它可以被無限分割，但它的底數是有限的）。這種說法完全反對芝諾，也是對無限的探索放慢了千年的原因。

中世紀的無限：

這個時代，也被稱為 《黑暗時代》其特徵是教會等中央機構對識字率低、侵略性游牧民族遷徙和瘟疫流行造成的生活水平低下的人口的權威。這個時代無限歷史最重要的元素是對科學和人類發展的古老價值的放棄和禁止。人們沉浸在信仰中，放棄了理性、數學、哲學和其他有教養的人的武庫。因此，沒有必要解釋無窮大或從科學的角度來接近它。

唯一可以容忍的觀點是從神學角度來看無限。在那個時代，人們認為不僅上帝是無限的、全能的、無所不在的，而且與祂有關的其他元素也被認為是無限的： “上帝的所有屬性或工作都是無限的。” 神性與無限有著密切的聯繫，被永恆和不朽所定義。間接地，永恆意味著相對於時間的無限，而無所不在意味著相對於空間的無限。

根據那個時期牧師創作的一些文件，最著名的引言之一來自聖金口約翰： 「他的判斷深不可測，他的道路深不可測，他的平安充滿整個心靈，他的恩賜難以形容，他的偉大無邊無際，他的智慧無邊無際，一切都是深不可測的......這不是關於存在，而是關於經濟......但如果經濟是深不可測的，那麼他自己更是如此。」 透過這些斷言以及許多其他斷言，在中世紀，教會在無限上留下了自己的印記，透過對上帝的信仰將其與神性聯繫起來。

現代的無限：

近代可以被認為是人類進步加速體現的一個時期，以改善幾個世紀前信仰取代理性主導的不利局面。進步體現在政治、工業、社會、經濟、貿易、交通、通訊、科學、醫學、科技、文化等各個領域。現代性的特徵是工業機械化和自動化，逐漸放棄手工勞動。

偉大的伽利略·伽利萊是這段時期無限歷史上的傑出人物，他是物理學家、數學家、哲學家和科學家。 “現代觀測天文學之父”。西元1600年，這位偉大的數學家從整體大於整體的一部分的數學邏輯原理出發，透過一個悖論，成功地發現了新的無窮概念。伽利略悖論證明了無限集合的令人驚訝的性質之一。

在他最後的科學論文中， 《兩門新科學》，伽利略·伽利雷對正整數做出了看似矛盾的陳述。首先，平方是一個整數，即整數的平方。有些數字是平方的，而有些則不是；因此，所有數字，包括平方數和非平方數，都必須比僅僅平方數多。然而，每個數字都恰好有一個正方形；因此，其中一種不可能多於另一種。這是一對一對應思想在無限集合的背景下的早期使用。伽利略得出結論，「小於」、「等於」和「大於」的概念適用於有限數量，但不適用於無限數量。透過這些陳述，他成功地喚醒了專家們尋找無限答案的願望，在他的發現之後，無限的新時代開始了，它體現在多個科學領域，改變了人類對不可能的看法。

當代的無限：

當代被認為是全球技術和科學持續發展的時期，也是繼手工勞動被自動化和機械化工業取代的時期，即現代時期。

當代是偉大發現的時刻，科學技術不斷擴展，因為人類不斷創造發明來保障自己的生計，尋找自己的起源，並盡可能地發現有關宇宙的事物，其中就包括試圖解決無限。

在這個時代，尤其是在 19 世紀，有一些傑出人物解決了無窮大的問題。當代科學的革命家中最勇敢地討論這個有爭議的話題的是喬治·費迪南德·路德維希（Georg Ferdinand Ludwig）。德國數學家 Georg Cantor 創立了後來成為數學基礎理論的集合論，他確定了集合中兩個成員之間一一對應的重要性，定義了無限有序集合，表明實數大於自然數。事實上，證明這個定理的方式就牽涉到「無窮大」的存在性。他找到了一個框架，在這個框架中，這種限制是不必要的，並且可以以有意義的方式定義無限集之間的比較，表明透過這個定義，一些無限集合嚴格大於其他集。他也介紹了基數和序數的概念及其計算規則。

1895年，格奧爾格·康托（Georg Cantor）創造了「超有限」（transfinite）一詞，希望在提及這些實體時避免「無限」一詞的某些含義，這些實體在傳統意義上不是有限的，但也不是無限的。康托爾意識到他的工作所產生的深遠的哲學影響以及他的發現和倡議所帶來的爭議。

起初，康托爾的超限數理論被認為是違反直覺且令人震驚的。這引起了同時代數學家的反對，例如利奧波德·克羅內克和亨利·龐加萊，以及後來的赫爾曼·韋爾等人，而路德維希·維特根斯坦則提出了哲學上的反對意見。康托爾是一位虔誠的路德教徒，他相信這個理論是上帝傳達給他的。有些基督教神學家認為康托爾的著作是對上帝本質中絕對無限的獨特性的挑戰。然而，並非所有神學家都反對康托爾的理論。紅衣主教約翰·巴普蒂斯特·弗朗澤林（Johann Baptist Franzelin）就是一個相關的例子，在這位德國數學家做出重要澄清後，他認為這一論點是有效的理論。

他被當時的許多哲學家、數學家和神學家視為江湖騙子、叛逆者 “青春的腐蝕者” 和一個瘋子。
儘管受到嚴厲批評，康托爾仍繼續尋找無限，並因兒子的去世而逐漸放棄了對數學的熱情，轉而研究無限的哲學一面，直至失去理智。就這樣，他在療養院裡獨自度過了生命的最後一年。
這位天才的思想和理論至今仍引起人們對該領域的極大興趣。

在 20 世紀，更準確地說是在 1931 年，人們注意到了另一個無窮大主題的偉大代表：庫爾特·哥德爾 (Kurt Gödel)。他是一位邏輯學家、數學家和哲學家，與亞里斯多德和戈特洛布·弗雷格一起被認為是歷史上最重要的邏輯學家之一。他的著作對科學和哲學思想產生了深遠的影響。
這位年輕的哲學家在維也納完成博士學位後立即發表了兩個不完整定理。這些定理聲稱任何數學系統（足夠一致且足夠強大）都包含無法證明的真實陳述。換句話說，數學包含著無法解決的問題。
因此，透過他的概念，哥德爾抓住了數學中不可能的不可能性，數學本身就是一個悖論，即使發現了一個新想法，也會自動產生關於新發現的另一個不確定性等等。

結論：

無限的過去和現在仍然困擾著我們。自古以來，人們就邏輯地接近和懷疑它，因為我們不夠先進。在中世紀，人們試圖透過宗教和信仰來解釋它，因為我們不想承認其他方法。在現代性中，我們已經接近它了，至少我們是這麼認為的，但我們透過定義它來製造更多的問題。最後，在當代，我們竭盡全力證明無限及其存在，比以往任何時候都更加先進，但我們得出的結論是，無限不能被有限的存在所理解，而只能被猜測。

個人感想：

無限是一個很難從任何角度接近而又不發瘋的主題，這就是為什麼我建議透過文學，更準確地說是透過其本身性質的故事，而不是理論來添加我的標記和印象。

「他獨自站在一池水邊，一池水緩慢而溫暖，另一池又冷又令人不安。

他迷失在溪流的音樂會和震耳欲聾的混亂中，目睹著創造。隔壁，宇宙徘徊著，尋找命運的存在跡象，但什麼也沒有等待著它。世界不存在，天體漂浮在周圍的某個地方，但沒有人注意到它。

一片盲目的景象，浩瀚的黑暗主宰了整個世界，就像一場幕布遮住了演員，其邊緣吞噬了所有的光線。黑色背景下，河流在看不見的地方咆哮。他已經習慣了未知的虛無，他不知道那是什麼，就像他不認識自己一樣。如果沒有什麼好看的，為什麼要去看呢？如果他的心是空的，他為什麼還要思考？反問句，因為他知道身邊沒有其他人。

他被無形而持續的流水聲所包圍。出於好奇，請跟隨其中一個的聲音一段時間。他已經過了一個寬闊的環路，又過了一個水域。慢慢地，空氣變得更沉重、更溫暖。突然，什麼東西都掉進了滾燙的河水中，彷彿快要見底了，淹沒在白光之中，從對岸鑽了出來。儘管他沒有眼睛或身體，但他現在可以看見並燃燒。他不想孤單，於是在星系中尋找朋友。他加入了天空中迷失的星星，組成了痛苦的陣型，並邀請太陽跳舞。被虛無的神秘所吸引，星星也跟著他逃離了天空，從溫暖的世界來到了空虛的世界。他要去那條滾燙的河邊，遮掩回家的路。它再次淹沒在黑色的天空中，星塵四濺。沒有任何東西能接受兩水的洗禮，兩水的河岸以環狀結束，在中間相遇。 」

參考書目：

大衛·福斯特·華萊士 “一切以及更多”

約翰·D·巴羅， 無限之書

瓦倫丁·庫特夫, 芝諾與極限的概念，2009 年 11 月 13 日

《哲學軼事》系列第8篇（共102篇）

阿爾森尼‧博卡神父－20世紀偉大的靈魂導師，Teognost 出版社，克盧日-納波卡，2002 年，第 14 頁。 86-87)

薩夫塔·亞歷山德魯, “無限的藝術：歷史、數學、不可能”

克里斯蒂娜·西奧巴， 《內在無限》

「關於亞里斯多德的無限和伽利略·伽利雷的無限，這位遠見卓識的人實現了不可能的目標」 - 摩爾多瓦主權雜誌

《格奧爾格·康托爾》——大英百科全書

哲學雜誌 1-2/2008 繼哥德爾·米爾恰·馬里察之後